PRIN2012: Matrici Strutturate nella Ricostruzione di Segnali e Immagini

l progetto si pone alla frontiera tra la ricerca di base nel campo dell'algebra lineare numerica strutturata e le applicazioni legate alla ricostruzione di immagini, con particolare attenzione al caso di immagini sfocate o derivanti dall'emissione di raggi X. Infatti, molteplici strumenti algebrici strutturati sviluppati in passato possono essere utilizzati in problemi concreti con la prospettiva di miglioramenti sostanziali, sia nell'efficienza degli algoritmi (costo computazionale, occupazione di memoria, ecc.) sia nell'accuratezza dei modelli, e quindi nella qualità della soluzione calcolata. D'altra parte nuovi esempi applicativi in ambito biomedico, astronomico, civile, ecc., pongono nuove questioni teoriche e computazionali in algebra lineare strutturata che meritano particolare attenzione. Proprio in tale contesto si vuole coniugare l'esperienza che alcuni componenti del progetto hanno maturato nell'ambito dell'algebra lineare numerica, con le applicazioni concrete su cui altri componenti già lavorano da anni grazie a collaborazioni in essere con centri di ricerca biomedica e astrofisica. Le applicazioni di cui ci occuperemo in questo progetto saranno principalmente: A.1) Ricostruzione d'immagini sfocate e affette da rumore. A.2) Ricostruzione di oggetti mediante raggi X o dispersione da micro-onde. A.3) Classificazione e analisi di dati biomedici. In molte delle applicazioni citate la presenza del rumore riveste un ruolo non trascurabile e spesso si tratta di problemi malposti discreti (in quanto i dati a disposizione sono forniti in forma di matrici o tensori e tali problemi discreti possono essere considerati come una discretizzazione di problemi malposti) che necessitano quindi di regolarizzazione. In alcuni casi è inoltre utile combinare strumenti di algebra lineare strutturata con tecniche di ottimizzazione o di approssimazione. Le tecniche numeriche che ci proponiamo di studiare sono essenzialmente di tre tipi: B.1) Metodi iterativi regolarizzanti e tecniche di accelerazione. B.2) Metodi numerici per modelli di regolarizzazione non lineari. B.3) Fattorizzazioni non negative e schemi di suddivisione. Per concludere, si osserva che il calcolo di soluzioni accurate per le applicazioni di cui ai punti A.1-A.3 richiede solitamente di imporre vincoli non lineari per preservare la non negatività e/o la sparsità della soluzione. I metodi numerici che ne derivano possono quindi essere computazionalmente costosi e trarre notevole beneficio dall'utilizzo di strumenti di algebra lineare numerica in grado di sfruttare efficacemente la struttura e le proprietà del problema in oggetto. A titolo di esempio, tecniche di precondizionamento (eventualmente multilivello) regolarizzante sviluppate al punto B.1 potrebbero essere combinate con vincoli di sparsità e/o non negatività ottenendo nuovi metodi numerici per il punto B.2, applicabili con successo sia ai problemi del punto A.1 che ad alcune applicazioni in A.2 e in A.3.