On the structure of co-Kähler manifolds

By the work of Li, a compact co-Kähler manifold M is a mapping torus $K_\varphi$, where K is a Kähler manifold and $\varphi$ is a Hermitian isometry. We show here that there is always a finite cyclic cover $\bar M$ of the form $\bar M \cong K \times S^1$, where $\cong$ is equivariant diffeomorphism with respect to an action of $S^1$ on $M$ and the action of $S^1$ on $K \times S^1$ by translation on the second factor. Furthermore, the covering transformations act diagonally on $S^1$, $K$ and are translations on the $S^1$ factor. In this way, we see that, up to a finite cover, all compact co-Kähler manifolds arise as the product of a Kähler manifold and a circle.

Grazie al lavoro di Li, una varietà compatta co-Kähler è un mapping torus $K_\varphi$, dove K è una varietà Kähler e $\varphi$ è un'isometria hermitica. Mostriamo che esiste sempre un rivestimento finito ciclico $\bar M$ della forma $\bar M \cong K \times S^1$, dove $\cong$ è un diffeomorfismo equivariante rispetto ad un'azione di $S^1$ su $M$ e all'azione di $S^1$ su $K \times S^1$ per traslazioni sul secondo fattore. Inoltre, le trasformazioni del rivestimento agiscono diagonalmente su $S^1$, $K$ e sono traslazioni sul fattore $S^1$. In tal modo, vediamo che, salvo un rivestimento finito, ogni varietà compatta co-Kähler si presenta come il prodotto di una varietà compatta Kähler e un cerchio.